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很骨灰....
裂项求和不就好了么?
而且还不是带符号的
对于通项n=k,1/((2k-1)(2k+1)(2k+3))=(1/4)*(1/(2k-1)(2k+1)-1/(2k+1)(2k+3))
则左=(1/4)*((1/1*3-1/3*5)+(1/3*5-1/5*7)+...................................+(1/2001*2003-1/2003*2005))=(1/4)*(1/3-1/2003*2005)
有时候不必拘泥于一定要得到简单分母，这种三项相乘很可能两两结合裂项，这样裂后的项相减分子才可能不带有变量。
谢谢24F、25F指点及18F答案，现已计算完毕，答案是1004003/12048045，此问题已解决。